MCD e mcm: definizioni e metodi
Il massimo comune divisore (MCD) di due numeri è il più grande numero che li divide entrambi senza resto. Il minimo comune multiplo (mcm) è il più piccolo numero divisibile per entrambi.
Metodo della scomposizione in fattori primi
Esempio con 24 e 36: 24 = 2³ × 3 e 36 = 2² × 3².
- MCD: fattori comuni presi con l'esponente minore → 2² × 3 = 12.
- mcm: tutti i fattori, comuni e non comuni, con l'esponente maggiore → 2³ × 3² = 72.
Algoritmo di Euclide
Con numeri grandi la scomposizione è lenta. Il calcolatore usa l'algoritmo di Euclide: si divide il maggiore per il minore e si continua con il divisore e il resto, finché il resto è zero. L'ultimo divisore è il MCD.
- 36 = 1 × 24 + 12
- 24 = 2 × 12 + 0 → MCD = 12
mcm(a, b) = a × b / MCD(a, b) = 24 × 36 / 12 = 72
A cosa servono
- Sommare frazioni: 5/24 + 7/36 si porta al denominatore comune 72: 15/72 + 14/72 = 29/72.
- Semplificare frazioni: 24/36 diviso per il MCD 12 diventa 2/3.
- Problemi di ricorrenza: due autobus passano ogni 24 e ogni 36 minuti; se partono insieme, si incontrano di nuovo dopo 72 minuti.
- Problemi di suddivisione: per tagliare due assi da 24 e 36 cm in pezzi uguali il più lunghi possibile, i pezzi misurano 12 cm.
Domande frequenti
Cosa significa che due numeri sono primi tra loro?
Che il loro MCD è 1, come 8 e 15. In questo caso il mcm è semplicemente il loro prodotto: 120.
Come si calcolano MCD e mcm di tre numeri?
Due alla volta: MCD(a, b, c) = MCD(MCD(a, b), c), e lo stesso per il mcm. Con 12, 18 e 30: MCD(12, 18) = 6, MCD(6, 30) = 6.