Il teorema del coseno (di Carnot)
Il teorema del coseno generalizza Pitagora a qualsiasi triangolo: permette di trovare il terzo lato conoscendo due lati e l'angolo compreso tra loro.
a² = b² + c² − 2bc × cos α
dove α è l'angolo opposto al lato a, cioè quello compreso tra b e c. Se α = 90°, il coseno vale 0 e si torna al teorema di Pitagora.
Esempio svolto
Lati b = 5 e c = 7 con angolo compreso α = 60° (cos 60° = 0,5):
a² = 25 + 49 − 2 × 5 × 7 × 0,5 = 74 − 35 = 39 → a = √39 ≈ 6,245.
Come cambia il terzo lato con l'angolo
| Angolo α | cos α | Effetto |
|---|---|---|
| Acuto (< 90°) | positivo | a² < b² + c²: lato più corto che nel caso rettangolo |
| Retto (90°) | 0 | a² = b² + c² (Pitagora) |
| Ottuso (> 90°) | negativo | a² > b² + c²: lato più lungo |
Formula inversa: trovare un angolo
Se conosci tutti e tre i lati: cos α = (b² + c² − a²) / (2bc). Con lati 5, 7 e √39 si ritrova cos α = 0,5, cioè 60°.
Applicazioni
- Topografia: distanza tra due punti separati da un ostacolo, misurando da un terzo punto due distanze e l'angolo tra le direzioni.
- Navigazione: distanza percorsa cambiando rotta di un certo angolo.
- Fisica: modulo della somma di due vettori che formano un angolo.
Domande frequenti
Quando usare il teorema dei seni invece?
Quando conosci un lato e l'angolo opposto, più un altro elemento. Il teorema dei seni e quello del coseno insieme risolvono qualsiasi triangolo.