Permutazioni, disposizioni e combinazioni
Il calcolo combinatorio risponde alla domanda "in quanti modi posso scegliere o ordinare degli oggetti?". La formula giusta dipende da due domande: conta l'ordine? e si possono ripetere gli elementi?
| Caso | Ordine | Ripetizioni | Formula |
|---|---|---|---|
| Permutazioni di n oggetti | Sì | No | n! |
| Disposizioni semplici | Sì | No | n! / (n − k)! |
| Disposizioni con ripetizione | Sì | Sì | nk |
| Combinazioni semplici | No | No | n! / (k! (n − k)!) |
| Combinazioni con ripetizione | No | Sì | (n + k − 1)! / (k! (n − 1)!) |
Esempi
- Podio di una gara con 10 atleti (conta l'ordine): disposizioni D(10,3) = 10 × 9 × 8 = 720.
- Scegliere 3 rappresentanti su 10 (l'ordine non conta): combinazioni C(10,3) = 120, cioè 720 diviso le 3! = 6 permutazioni di ogni terna.
- PIN di 4 cifre: disposizioni con ripetizione, 104 = 10.000 codici.
- Coppetta da 3 gusti tra 10, anche ripetuti: combinazioni con ripetizione C(12,3) = 220.
- Sestine possibili su 90 numeri: C(90,6) = 622.614.630. È il motivo per cui indovinare un 6 al SuperEnalotto con una giocata è così improbabile.
Come scegliere la formula
- Se scambiando due elementi ottieni un risultato diverso (una classifica, una password), l'ordine conta: disposizioni o permutazioni.
- Se ottieni lo stesso risultato (un gruppo, una mano di carte), l'ordine non conta: combinazioni.
- Se lo stesso elemento può comparire più volte (cifre di un codice, gusti ripetuti), usa le formule con ripetizione.
Domande frequenti
Che cos'è il coefficiente binomiale?
È il numero di combinazioni C(n,k), scritto anche come "n su k". Compare nello sviluppo di (a + b)n e nel triangolo di Tartaglia. Puoi calcolarlo anche nel calcolatore dei fattoriali.
Perché i risultati diventano enormi così in fretta?
Il fattoriale cresce più velocemente di qualsiasi potenza: 10! è già 3.628.800 e 20! supera i due miliardi di miliardi. Oltre 170! il valore supera il limite dei numeri in virgola mobile e il calcolatore lo segnala come troppo grande.