Che cos'è il fattoriale
Il fattoriale di un numero naturale n, scritto n!, è il prodotto di tutti i numeri interi da 1 a n. Conta in quanti modi diversi si possono mettere in fila n oggetti.
n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1 · 0! = 1
Valori di riferimento
| n | n! |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 5 | 120 |
| 10 | 3.628.800 |
| 13 | 6.227.020.800 |
| 20 | 2.432.902.008.176.640.000 |
| 25 | 15.511.210.043.330.985.984.000.000 |
Il calcolatore usa l'aritmetica intera esatta: anche oltre i 16 decimali gestiti dai normali numeri del computer, le cifre mostrate sono tutte corrette. Oltre 60 cifre mostra la notazione scientifica e il numero di cifre.
Perché 0! vale 1
C'è un solo modo di ordinare zero oggetti: non fare niente. Inoltre la regola n! = n × (n − 1)! funziona solo se 1! = 1 × 0!, quindi 0! deve valere 1.
Coefficiente binomiale
Il calcolatore restituisce anche C(n,k) = n! / (k! (n − k)!), il numero di modi di scegliere k elementi tra n senza contare l'ordine. Per esempio C(5,2) = 120 / (2 × 6) = 10.
Approssimazione di Stirling
Per n grandi si usa n! ≈ √(2πn) × (n/e)n. Per n = 10 dà circa 3.598.696, meno dell'1% di errore rispetto al valore esatto, e l'errore relativo diminuisce al crescere di n.
Domande frequenti
Esiste il fattoriale di un numero negativo o decimale?
Non nella definizione elementare. In analisi esiste la funzione Gamma, con Γ(n + 1) = n!, che estende il fattoriale ai numeri reali, ma non è definita per gli interi negativi.
Dove si usa il fattoriale?
Nel calcolo delle probabilità e nel calcolo combinatorio, negli sviluppi in serie (per esempio e = 1/0! + 1/1! + 1/2! + …) e nello sviluppo del binomio di Newton.