Come si risolve un'equazione di secondo grado
Un'equazione nella forma ax² + bx + c = 0, con a diverso da zero, si risolve con la formula risolutiva. Il segno del discriminante Δ dice subito quante soluzioni reali esistono.
Δ = b² − 4ac · x = (−b ± √Δ) / 2a
I tre casi, con esempi
| Equazione | Δ | Soluzioni |
|---|---|---|
| x² − 5x + 6 = 0 | 25 − 24 = 1 > 0 | Due reali distinte: x = 2, x = 3 |
| x² − 4x + 4 = 0 | 16 − 16 = 0 | Una reale doppia: x = 2 |
| x² + 2x + 5 = 0 | 4 − 20 = −16 < 0 | Nessuna reale; complesse: x = −1 ± 2i |
Scorciatoie utili
- Equazione spuria (c = 0): ax² + bx = 0 si raccoglie: x(ax + b) = 0, quindi x = 0 oppure x = −b/a.
- Equazione pura (b = 0): ax² + c = 0 dà x = ±√(−c/a), con soluzioni reali solo se −c/a è positivo.
- Formula ridotta (b pari): con b = 2k si usa x = (−k ± √(k² − ac)) / a, con numeri più piccoli.
- Somma e prodotto: x₁ + x₂ = −b/a e x₁ · x₂ = c/a. In x² − 5x + 6 = 0 cerchi due numeri con somma 5 e prodotto 6: 2 e 3.
Errori comuni
- Dimenticare il segno di b: in x² − 5x + 6 = 0 si ha b = −5, quindi −b = +5.
- Dividere solo √Δ per 2a: tutto il numeratore (−b ± √Δ) va diviso per 2a.
- Non portare prima l'equazione in forma normale: tutti i termini devono stare a sinistra, con zero a destra.
Domande frequenti
Che significato geometrico hanno le soluzioni?
Il grafico di y = ax² + bx + c è una parabola. Le soluzioni sono i punti in cui taglia l'asse x: due se Δ > 0, uno se Δ = 0, nessuno se Δ < 0.
E se a = 0?
L'equazione diventa di primo grado, bx + c = 0, con soluzione x = −c/b. Puoi risolverla con il calcolatore delle equazioni di primo grado.