Che cos'è un logaritmo
Il logaritmo risponde alla domanda: a quale esponente devo elevare la base per ottenere un certo numero? log2(8) = 3 perché 2³ = 8. Il numero deve essere positivo e la base positiva e diversa da 1.
logb(x) = y ⇔ by = x
Per una base qualsiasi il calcolatore usa il cambio di base: logb(x) = ln(x) / ln(b).
Le basi più usate
| Logaritmo | Base | Dove si usa |
|---|---|---|
| Decimale (log) | 10 | pH, decibel, scala Richter, notazione scientifica |
| Naturale (ln) | e ≈ 2,71828 | Crescita continua, interesse composto, decadimento radioattivo |
| Binario (log2) | 2 | Informatica: bit necessari, ricerca binaria |
Proprietà fondamentali
- log(a × b) = log(a) + log(b)
- log(a / b) = log(a) − log(b)
- log(an) = n × log(a)
- logb(1) = 0 e logb(b) = 1
Esempi pratici
- Bit: per rappresentare 1.000 valori diversi servono ⌈log2(1000)⌉ = ⌈9,97⌉ = 10 bit.
- Raddoppio di un investimento: al 5% annuo servono ln(2) / ln(1,05) ≈ 14,2 anni.
- pH: pH = −log10[H+]. Un'acqua con pH 6 è dieci volte più acida di una con pH 7.
- Decibel: ogni +10 dB corrisponde a un'intensità sonora 10 volte maggiore.
Domande frequenti
Perché non esiste il logaritmo di un numero negativo?
Elevando una base positiva a qualsiasi esponente reale si ottiene sempre un numero positivo, quindi nessun esponente può dare un risultato negativo o zero. Nei numeri complessi il logaritmo esiste, ma non è più un singolo valore.
Come si risolve un'equazione esponenziale?
Si applica il logaritmo a entrambi i membri: 3x = 20 diventa x = log(20) / log(3) ≈ 2,727. Per l'operazione inversa usa il calcolatore di potenze e radici.