Come si risolve un sistema lineare 2×2
Un sistema di due equazioni lineari in due incognite ha la forma:
ax + by = e · cx + dy = f
Il calcolatore usa la regola di Cramer, basata sui determinanti:
D = ad − bc · Dx = ed − bf · Dy = af − ec · x = Dx / D, y = Dy / D
Esempio svolto
Sistema: x + y = 10 e x − y = 2 (a = 1, b = 1, e = 10, c = 1, d = −1, f = 2).
- D = 1 × (−1) − 1 × 1 = −2
- Dx = 10 × (−1) − 1 × 2 = −12 → x = −12 / −2 = 6
- Dy = 1 × 2 − 10 × 1 = −8 → y = −8 / −2 = 4
- Verifica: 6 + 4 = 10 e 6 − 4 = 2. ✓
Quando il sistema ha soluzione
| Determinante | Tipo di sistema | Significato geometrico |
|---|---|---|
| D ≠ 0 | Determinato: una soluzione | Due rette che si incontrano in un punto |
| D = 0, Dx e Dy = 0 | Indeterminato: infinite soluzioni | Due rette coincidenti |
| D = 0, Dx o Dy ≠ 0 | Impossibile: nessuna soluzione | Due rette parallele distinte |
Altri metodi
- Sostituzione: ricavi x dalla prima equazione (x = 10 − y) e la sostituisci nella seconda.
- Riduzione: sommi o sottrai le equazioni per eliminare un'incognita: sommando le due dell'esempio ottieni 2x = 12.
- Confronto: ricavi la stessa incognita da entrambe e uguagli le espressioni.
Domande frequenti
Un esempio pratico?
Al cinema 2 biglietti interi e 3 ridotti costano 41 €, 1 intero e 1 ridotto 17 €. Con 2x + 3y = 41 e x + y = 17 si ottiene x = 10 € per l'intero e y = 7 € per il ridotto.
E con una sola incognita?
Basta un'equazione: usa il calcolatore delle equazioni di primo grado.