I teoremi di Euclide
In un triangolo rettangolo l'altezza relativa all'ipotenusa la divide in due segmenti, le proiezioni dei cateti. I due teoremi di Euclide legano queste proiezioni ai cateti e all'altezza.
- Primo teorema: ogni cateto è medio proporzionale tra l'ipotenusa e la propria proiezione: a² = c × p, b² = c × q.
- Secondo teorema: l'altezza relativa all'ipotenusa è media proporzionale tra le due proiezioni: h² = p × q.
p = a² / c · q = b² / c · h = √(p × q) = a × b / c
Esempio svolto
Cateti a = 6 e b = 8:
- Ipotenusa (Pitagora): c = √(36 + 64) = 10
- Proiezioni: p = 36 / 10 = 3,6 e q = 64 / 10 = 6,4 (somma 10 = c ✓)
- Altezza: h = √(3,6 × 6,4) = √23,04 = 4,8, uguale a 6 × 8 / 10
- Area: 6 × 8 / 2 = 24, uguale a 10 × 4,8 / 2 ✓
Relazione con Pitagora
Sommando le due relazioni del primo teorema si ottiene a² + b² = c × (p + q) = c × c = c², cioè il teorema di Pitagora. I teoremi di Euclide sono quindi una versione più dettagliata dello stesso risultato.
Quando servono
- Problemi scolastici in cui sono noti l'ipotenusa e una proiezione, o l'altezza e una proiezione.
- Costruzioni geometriche del medio proporzionale, per esempio per disegnare con riga e compasso un segmento lungo √x.
Domande frequenti
Valgono anche per triangoli non rettangoli?
No, valgono solo per i triangoli rettangoli. Per triangoli qualsiasi si usano il teorema del coseno e il teorema dei seni.